Question

12．已知点C，D在以AB为直径的圆O上，且CD平分∠ACB，若AB=4，∠CBA=15°，求CD的长．

Answer 1

分析 过点O作OE⊥CD，连接OC，根据AB为直径得出∠ACB=90°，再根据角平分线得出∠BCD=45°，由∠CBA=15°，得∠OCB=15°，即可得出∠OCE=30°，由直角三角形的性质得出OE，从而得出CE，由垂径定理得出CD即可．

解答 解：过点O作OE⊥CD，连接OC，
∴CE=DE，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45°，
∵∠CBA=15°，
∴∠OCB=15°，
∴∠OCE=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC，
∵AB=4，
∴OC=2，
∴OE=1，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理和三角形相似的判定与性质．