Question

20．如图所示，在矩形ABCD中．AB=4，BC=3．点F、P分别为线段AB、BC上的动点，CF与DP交于点E，DF与AE交于点G．若GF•DG=AG•GE，连结BE，则BE的最小值为$\sqrt{13}$-2．

Answer 1

分析 取CD的中点O连接OE，OB，由GF•DG=AG•GE，于是得到比例式$\frac{GF}{GE}=\frac{AG}{DG}$，$\frac{GF}{AG}=\frac{GE}{DG}$，证得△AGF∽△DGE，△EFG∽△DAG，由相似三角形的性质得到∠DEG=∠AFG，∠GEF=∠DAG，求得∠CED=90°，根据直角三角形的性质得到OE=$\frac{1}{2}$CD=2，根据勾股定理得到OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{13}$，根据圆周角定理得到∠CED=90°，得到点E在以CD为直径的⊙O上运动，于是得到结论．

解答 解：取CD的中点O连接OE，OB，
∵GF•DG=AG•GE，
∴$\frac{GF}{GE}=\frac{AG}{DG}$，$\frac{GF}{AG}=\frac{GE}{DG}$，
∴△AGF∽△DGE，△EFG∽△DAG，
∴∠DEG=∠AFG，∠GEF=∠DAG，
∴∠DEF=∠DEG+∠GEF=∠AFG+∠GDA=90°，
∴∠CED=90°，
∴OE=$\frac{1}{2}$CD=2，
∵OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵∠CED=90°，
∴点E在以CD为直径的⊙O上运动，
∴BE≥OB-OE，当点E在OB上时，BE=OB-OE=$\sqrt{13}$-2，
∴BE的最小值为$\sqrt{13}$-2，
故答案为：$\sqrt{13}$-2．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．