Question

8．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，∠AOB=60°，AE平分∠BAD交BC于E，连OE．若AB=1，则OE的长为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由矩形的性质和已知条件得出△AOB是等边三角形，得出OB=AB，∠ABO=60°，∠OBE=30°，证明△ABE是等腰直角三角形，得出BE=AB=1，因此OB=BE=1，∠BOE=75°，作EF⊥BD于F，得出EF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$，在Rt△OEF中，sin∠BOE=$\frac{EF}{OE}$，即可求出OE的长．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB，∠ABO=60°，
∴∠OBE=30°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=1，
∴OB=BE=1，
∴∠BOE=75°，
作EF⊥BD于F，则∠EFB=∠EFO=90°，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$，
在Rt△OEF中，sin∠BOE=$\frac{EF}{OE}$，
∴OE=$\frac{EF}{sin75°}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$；
故选：C．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．