已知:如图1.在平面直角坐标中.A.点C为线段AB的中点.点D与原点O关于点C对称．(1)利用直尺和圆规在图1中作出点D的位置.判断四边形OBDA的形状.并说明理由,(2)在图1中.动点E从点O出发.以每秒1个单位的速度沿线段OA运动.到达点A时停止,同时.动点F从点O出发.以每秒a个单位的速度沿OB→BD→DA运动.到达点A时停止．设运动的时间为t(秒)．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．已知：如图1，在平面直角坐标中，A（12，0），B（6，6），点C为线段AB的中点，点D与原点O关于点C对称．
（1）利用直尺和圆规在图1中作出点D的位置（保留作图痕迹），判断四边形OBDA的形状，并说明理由；
（2）在图1中，动点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA运动，到达点A时停止；同时，动点F从点O出发，以每秒a个单位的速度沿OB→BD→DA运动，到达点A时停止．设运动的时间为t（秒）．
①当t=4时，直线EF恰好平分四边形OBDA的面积，求a的值；
②当t=5时，CE=CF，请直接写出a的值．

分析（1）作射线OC，截取CD=OC，然后由对角线互相平分的四边形是平行四边形进行可得到四边形的形状；
（2）①由直线EF恰好平分四边形OBDA的面积可知直线EF必过C，接下来，证明△OEC≌△DFC，从而可求得DF的长度，于是得到BF=8，然后再由两点间的距离公式求得OB的长，从而可求得a的值；
②先求得点E的坐标，然后求得EC的长，从而得到CF₁的长，然后依据勾股定理的逆定理证明∠OBA=90°，在△BCF₁中，依据勾股定理可求得BF₁的长，从而可求得a的值，设点F₂的坐标（b，6），由CE=CF列出关于b的方程可求得点F₂的坐标，从而可求得a的值，在Rt△CAF₃中，取得AF₃的长，从而求得点F运动的路程，于是可求得a的值．

解答解：（1）如图所示：

四边形OBDA是平行四边形．
理由如下：∵点C为线段AB的中点，
∴CB=CA．
∵点D与原点O关于点C对称，
∴CO=CD．
∴四边形OBDA是平行四边形．
（2）①如图2所示；

∵直线EF恰好平分四边形OBDA的面积，
∴直线EF必过C（9，3）．
∵t=4，
∴OE=4．
∵BD∥OA，
∴∠COE=∠CDF．
∵在△OEC和△DFC中$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠CDF}\\{OC=OD}\\{∠OCE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△OEC≌△DFC．
∴DF=OE=4．
∴BF=12-4=8．
由两点间的距离公式可知OB=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$．
∴4a=6$\sqrt{2}$+8．
∴a=2+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$．
②如图3所示：

∵当t=5时，OE=5，
∴点E的坐标（5，0）．
由两点间的距离公式可知EC=$\sqrt{（9-5）^{2}+（3-0）^{2}}$=5．
∵CE=CF，
∴CF=5．
由两点间的距离公式可知OB=BA=6$\sqrt{2}$，
又∵OA=12．
∴△OBA为直角三角形．
∴∠OBA=90°．
①在直角△F₁BC中，CF₁=5，BC=3$\sqrt{2}$，
∴BF₁=$\sqrt{7}$．
∴OF₁=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$．
∴a=$\frac{6\sqrt{2}-\sqrt{7}}{5}$．
②设F₂的坐标为（b，6）．由两点间的距离公式可知$\sqrt{（9-b）^{2}+（6-3）^{2}}$=5．
解得；b=5（舍去）或b=13．
∴BF₂=13-6=7．
∴OB+BF₂=6$\sqrt{2}$+7．
∴a=$\frac{6\sqrt{2}+7}{5}$．
③∵BO∥AD，
∴∠BAD=∠OBA=90°．
∴AF₃=$\sqrt{C{{F}_{3}}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴DF₃=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$．
∴OB+BD+DF₃=6$\sqrt{2}$+12+6$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$=12$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$+12．
∴a=$\frac{12\sqrt{2}-\sqrt{7}+12}{5}$．
综上所述a的值为$\frac{6\sqrt{2}-\sqrt{7}}{5}$或$\frac{6\sqrt{2}+7}{5}$或$\frac{12\sqrt{2}-\sqrt{7}+12}{5}$．