Question

【题目】已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．
解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，
设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

∴AP=AQ；

∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，

∴∠EQC=45°；

∴∠DEF=∠EQC；

∴CE=CQ；

由题意知：CE=t，BP=2t，

∴CQ=t；

∴AQ=8﹣t；

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；

则AP=10﹣2t；

∴10﹣2t=8﹣t；

解得：t=2；

答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上

（2）

解：如图1，过P作PM⊥BE，交BE于M，

∴∠BMP=90°；

在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB= ，

∴ = ，

∴PM= ，

∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6﹣t，

∴y=S△ABC﹣S△BPE= BCAC﹣ BEPM= 6×8﹣ （6﹣t）× t

= t2﹣ t+24= （t﹣3）2+ ，

∵a= ，

∴抛物线开口向上；

∴当t=3时，y最小= ；

答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为 cm2

（3）

解：假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；

如图2，

过P作PN⊥AC，交AC于N

∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；

∵∠PAN=∠BAC，

∴△PAN∽△BAC，

∴ ，

∴ ，

∴PN=6﹣ tAN=8﹣ t，

∵NQ=AQ﹣AN，

∴NQ=8﹣t﹣（8﹣ ）= ，

∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一条直线上，

∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；

∵∠FQC=∠PQN，

∴△QCF∽△QNP；

∴ ，∴ = ；

∵0＜t＜4.5，∴ = ；

解得：t=1；

答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．

【解析】（1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；（2）作PM⊥BC，将四边形的面积表示为S△ABC﹣S△BPE即可求解；（3）假设存在符合条件的t值，由相似三角形的性质即可求得．