Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．

（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，

把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入得： ，

解得 ．

∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y= x2+ x+4

（2）

解：∵y= x2+ x+4= （x+5）2﹣ ，

∴E（﹣5，﹣ ），

设直线CE的函数解析式为y=mx+n，

直线CE与y轴交于点G，则 ，

解得： ，

∴y= x+ ，

在y= x+ 中，令x=0，y= ，

∴G（0， ），

如图1，连接AB，AC，AG，

则BG=OB﹣OG=4﹣ = ，

CG= = = ，

∴BG=CG，AB=AC，

在△ABG与△ACG中，

，

∴△ABG≌△ACG，

∴∠ACG=∠ABG，

∵⊙A与y轴相切于点B（0，4），

∴∠ABG=90°，

∴∠ACG=∠ABG=90°

∵点C在⊙A上，

∴直线CE与⊙A相切

（3）

解：存在点F，使△BDF面积最大，

如图2连接BD，BF，DF，设F（t， t2+ t+4），

过F作FN∥y轴交BD于点N，

设直线BD的解析式为y=kx+d，则 ，

解得 ．

∴直线BD的解析式为y= x+4，

∴点N的坐标为（t， t+4），

∴FN= t+4﹣（ t2+ t+4）=﹣ t2﹣2t，

∴S△DBF=S△DNF+S△BNF= ODFN= （﹣ t2﹣2t）=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，

∴当t=﹣4时，S△BDF最大，最大值是16，

当t=﹣4时， t2+ t+4=﹣2，

∴F（﹣4，﹣2）．

【解析】（1）把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入二次函数的解析式即可得到结果；（2）由y= x2+ x+4= （x+5）2﹣ ，得到顶点坐标E（﹣5，﹣ ），求得直线CE的函数解析式y= x+ ，在y= x+ 中，令x=0，y= ，得到G（0， ），如图1，连接AB，AC，AG，得BG=OB﹣OG=4﹣ = ，CG= ，得到BG=CG，AB=AC，证得△ABG≌△ACG，得到∠ACG=∠ABG，由于⊙A与y轴相切于点B（0，4），于是得到∠ABG=90°，即可求得结论；（3）如图2，连接BD，BF，DF，设F（t， t2+ t+4），过F作FN∥y轴交BD于点N，求得直线BD的解析式为y= x+4，得到点N的坐标为（t， t+4），于是得到FN= t+4﹣（ t2+ t+4）=﹣ t2﹣2t，推出S△DBF=S△DNF+S△BNF= ODFN= （﹣ t2﹣2t）=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．