题目内容
8．
如图，抛物线y=ax2+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，2）．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
分析 （1）利用待定系数法转化为解方程组即可．
（2）如图1中，分两种情形讨论①当CP=CD时，②当DP=DC时，分别求出点P坐标即可．
（3）如图2中，作CM⊥EF于M，设E（a，-$\frac{1}{2}a$+2），F（a，-$\frac{1}{2}$a2+$\frac{3}{2}$a+2），则EF=-$\frac{1}{2}$a2+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}a$+2）=-$\frac{1}{2}$a2+2a，（0≤a≤4），根据S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=$\frac{1}{2}$•BD•OC+$\frac{1}{2}$•EF•CM+$\frac{1}{2}$•EF•BN，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{3}{2}+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）存在．如图1中，
∵C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0），
∴CD=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
当CP=CD时，P1（$\frac{3}{2}$，4），
当DP=DC时，P2（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P3（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（$\frac{3}{2}$，4）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
（3）如图2中，作CM⊥EF于M，
∵B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}x+2$，设E（a，-$\frac{1}{2}a$+2），F（a，-$\frac{1}{2}$a2+$\frac{3}{2}$a+2），
∴EF=-$\frac{1}{2}$a2+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}a$+2）=-$\frac{1}{2}$a2+2a，（0≤a≤4），
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=$\frac{1}{2}$•BD•OC+$\frac{1}{2}$•EF•CM+$\frac{1}{2}$•EF•BN
=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a2+2a）+$\frac{1}{2}$（4-a）（-$\frac{1}{2}$a2+2a）
=-a2+4a+$\frac{5}{2}$
=-（a-2）2+$\frac{13}{2}$，
∴a=2时，四边形CDBF的面积最大，最大值为$\frac{13}{2}$，
∴E（2，1）．
点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法，四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠AED=∠B，若AE=3，EC=1，AD=2．求AB的长．
建立一个平面直角坐标系．在坐标系中描出与x轴的距离等于3与y轴的距离等于4的所有点，并写出这些点之间的对称关系．
如图，点P在边长为1的正方形ABCD边AD上，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．若PQ2=PB2+PD2+1，则△PAB的面积为$\frac{1}{4}$．