Question

8．如图，点P在边长为1的正方形ABCD边AD上，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．若PQ²=PB²+PD²+1，则△PAB的面积为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 先由∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°易得△PAB与△QCB均为直角三角形，再证得△PAB≌△QCB，可得QC=PA，设正方形的边长AB=a，PA=x，利用方程思想和勾股定理可得ax的值，据此可得△PAB的面积．

解答 解：∵∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°，
∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90°，
∵∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PBA=∠QBC，
在Rt△PAB和Rt△QCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠QCB}\\{AB=CB}\\{∠PBA=∠QBC}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△QCB（ASA），
∴QC=PA，
设正方形的边长AB=a，PA=x，则QC=x，
∴DQ=DC+QC=a+x，PD=AD-PA=a-x，
在Rt△PAB中，PB²=PA²+AB²=x²+a²，
∵PQ²=PB²+PD²+1，
∴（a-x）²+（a+x）²=x²+a²+（a-x）²+1，
解得：2ax=1，
∴ax=$\frac{1}{2}$，
∵△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$PA•PB=$\frac{1}{2}$ax=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质的运用，利用方程思想和勾股定理得出AB•PA是解答此题的关键．