Question

15．关于x的一元二次方程x²-2x+k+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x₁+x₂-x₁x₂＜4，且k为整数，求k的值．

Answer 1

分析 （1）方程有两个实数根，必须满足△=b²-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=-2，x₁x₂=k+1．再代入不等式x₁+x₂-x₁x₂＜4，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．

解答 解：（1）∵方程有实数根，
∴△=（-2）²-4（k+1）＞0，
解得k＜0．
故K的取值范围是k＜0．

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=2，x₁x₂=k+1，
x₁+x₂-x₁x₂=2-（k+1）．
由已知，得2-（k+1）＜4，解得k＞-3．
又由（1）k＜0，
∴-3＜k＜0．
∵k为整数，
∴k的值为-2和-1．

点评 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△＞0．