Question

5．如图∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，过C作CE切⊙O于E，CD⊥BC，AE交CD于D．
（1）求证：AB=2CD；
（2）若CD=1，BC=3，求ED的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，BE，OC，根据切线的性质得到BC=CE，∠BCF=∠ECF，推出OC∥AD，得到四边形AOCD是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到四边形EOCD是等腰梯形，根据勾股定理得到OC=$\sqrt{O{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，根据射影定理得到OF=$\frac{O{E}^{2}}{OC}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，于是得到即可．

解答 解：（1）连接OE，BE，OC，
∵∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，
∴BC是⊙O的切线，
∵CE切⊙O于E，
∴BC=CE，∠BCF=∠ECF，
∴OC⊥BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠OFB，
∴OC∥AD，
∵CD⊥BC，
∴CD∥AB，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴CD=OA，
∴AB=2CD；

（2）∵AB=2OE，AB=2CD，
∴CD=OE，
∴四边形EOCD是等腰梯形，
∵CD=1，BC=3，
∴OE=1，CE=3，
∴OC=$\sqrt{O{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴OF=$\frac{O{E}^{2}}{OC}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴DE=OC-2OF=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，等腰梯形的判定和性质，正确的周长辅助线是解题的关键．