Question

16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件．
（1）若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）若商场为增加效益最大化，求每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？每天最多盈利多少元？

Answer 1

分析 （1）先设未知数：设每件衬衫应降价x元，由每件衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，可知每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出2x件；根据利润=销售的数量×每件的盈利，列方程可求得；
（2）设利润为w元，w=（40-x）（20+2x），化成一般式，配方成顶点式，求最值即可．

解答 解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意得：（40-x）（20+2x）=1200，
x²-30x+200=0，
（x-10）（x-20）=0，
x=10或20，
∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x=20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）设每件衬衫应降价x元时，利润为w元，
w=（40-x）（20+2x）=-2x²+60x+800=-2（x-15）²+1250，
∵-2＜0，
∴w有最大值，
即当x=15时，w有最大值为1250元，
答：每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利1250元．

点评 本题是二次函数的应用，属于销售利润问题，明确总利润=销售的数量×每件的利润，将一元二次方程与二次函数结合，将最大利润问题转化为二次函数的最值问题来求．