Question

7．如图，A（-3，0），B（0，3），C（-1，4），P，C，M按逆时针顺序排列，动点P在线段AB上，∠C=90°，∠CPM=30°，请求出当P点从A运动到B点时，点M运动的路径时什么？并求出M点运动路径长度．

Answer 1

分析 如图当点P与A重合时，作MH⊥AB于H，作CM₁⊥MH于M₁，连接BC，CH，BM₁．取AM的中点K，连接KC、KH．当P点从A运动到B点时，点M运动的路径是线段MM₁，求出MM₁即可解决问题．

解答 解：如图当点P与A重合时，作MH⊥AB于H，作CM₁⊥MH于M₁，连接BC，CH，BM₁．取AM的中点K，连接KC、KH．

∵KM=KA=KC=KH，
∴A、H、C、M四点共圆，
∴∠CHB=∠AMC=60°，
∵CB=$\sqrt{2}$，
∴BH=BC•tan30°=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，AH=AB-BH=3$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在Rt△ACB中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ACM中，AM=AC÷cos30°=$\frac{4}{3}$$\sqrt{15}$，
在Rt△AMH中，HM=$\sqrt{A{M}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
当点P与B重合时，点M与M₁重合，易知HM₁=BC=$\sqrt{2}$，
∴MM₁=HM-HM₁=$\sqrt{6}$，
∴当P点从A运动到B点时，点M运动的路径是线段MM₁，M点运动路径长度为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查轨迹、坐标与图形、圆、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题．