Question

13．请你观察：$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；…
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$；
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$；…
从上述运算得到启发，请你填空：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$=$\frac{4}{5}$；
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
理解以上方法的真正含义，计算：
$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{97×99}$．

Answer 1

分析 根据题意可以的得到问题中两个空中的答案，有前面发现的规律可以得到$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{97-99}$的答案．

解答 解：由题意可得，
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$=1-$\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$；
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$+$…+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}=\frac{2015}{2016}$；
故答案：$\frac{4}{5}，\frac{2015}{2016}$；
$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{97-99}$=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{97}-\frac{1}{99}）$=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{99}）=\frac{1}{2}×\frac{98}{99}=\frac{49}{99}$．

点评 本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，找出题目中式子的规律解答问题．