Question

4．如图1，在矩形纸片ABCD中，已知AB=3，BC=4，M、N分别是边AB、AD上的动点．现将纸片沿MN折叠，得到△MNP．
（1）若点P在对角线BD上．
①如图2，若M点与B点重合时，求AN的长；
②如图3，若MN∥BD，判断以MN为直径的圆与直线BD的位置关系，并说明理由．
（2）若BM=AN，以MN为直径的圆能否与直线BD相切？若能，请求出AN的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质，可得AN与PN的关系，根据三角形的面积公式，可得关于AN的方程；
（2）根据直角三角形的性质，可得OP与MN的关系，根据直角三角形三边的关系，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．

解答 解：（1）由翻折的性质，得
AN=PN．
由勾股定理，得
BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=5，
由S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•AD=S_△ABN+S_△BND，得
$\frac{1}{2}$×3AN+$\frac{1}{2}$×5NP=$\frac{1}{2}$×3×4，即$\frac{3}{2}$AN+$\frac{5}{2}$AN=6．
解得AN=$\frac{3}{2}$；
（2）如图1：O为圆心，作OE⊥BD于E，连接OP，，
由直角三角形的性质，得
OP=OM=ON，
由直角三角形三边的关系，得
OP＞OE，
⊙O与直线BD相交；
（3）当M与A重合时，如图2，
$\frac{OP}{AB}$=$\frac{OD}{BD}$，AN=BM=3，OP=$\frac{3}{2}$
即⊙O与直线BD相切．

点评 本题考查了圆的综合题，利用了翻折的性质，直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离等于半径；直线与圆相切，圆心到直线的距离小于半径，直线与圆相交．