题目内容
【题目】正方形ABCD的边长为2，M、N分别为边BC、CD上的动点，且∠MAN＝45°
（1）猜想线段BM、DN、MN的数量关系并证明；
（2）若BM＝CM，P是MN的中点，求AP的长；
（3）M、N运动过程中，请直接写出△AMN面积的最大值 和最小值 ．
【答案】（1）BM+DN＝MN；（2）
；（3）2，4
﹣4．
【解析】
（1）延长CB到E，使BE＝DN，连接AE，根据SAS证△ABE≌△ADN，推出AE＝AN，∠DAN＝∠BAE，求出∠NAM＝∠MAE，根据SAS证出△NAM≌△EAM，从而得到BM+DN＝MN；
（2）如图2，过点A作AF⊥MN，由AAS可证△ABM≌△AFM，可得AB＝AF＝2，MB＝MF＝1，由勾股定理可求DN＝
，即可求PF的长，由勾股定理可求AP的长；（3）由三角形的面积公式可求△AMN面积＝MN，由三角形的三边关系和完全平方公式可求MN的最大值和最小值，即可求解．
解：
（1）BM+DN＝MN．
理由：如图，延长CB至E使得BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，
在△ADN和△ABE中，
，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，
∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中，
，
∴△EAM≌△NAM（SAS），
∴MN＝ME，
∵ME＝BM+BE＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN．
（2）如图2，过点A作AF⊥MN，
∵点M是BC的中点，
∴BM＝MC＝
BC＝1，
由（1）可知：∠AMB＝∠AMF，∠ABM＝∠AFM＝90°，AM＝AM，
∴△ABM≌△AFM（AAS），
∴AB＝AF＝2，MB＝MF＝1，
∵BM+DN＝MN，
∴DN＝NF，
∵MC2+NC2＝MN2，
∴1+（2﹣DN）2＝（1+DN）2，
∴DN＝，
∴MN＝1+DN＝
，
∵P是MN的中点，
∴MP＝
，
∴PF＝MF﹣MP＝
，
∴AP＝
.
（3）∵△AMN面积＝MN×AF，
∴△AMN面积＝MN，
∵MN＝BM+DN，BM+CM＝BC＝2，DN+CN＝CD＝2，
∴MN+CM+CN＝BC+CD＝4，
∴CM+CN＝4﹣MN，
∴2CMCN+CM2+CN2＝（4﹣MN）2＝16+MN2﹣8MN，且CM2+CN2＝MN2，
∴CMCN＝8﹣4MN，
∵（CM﹣CN）2≥0，
∴CM2+CN2≥2CMCN，
∴MN2≥16﹣8MN，
∴（MN+4）2≥32，
∴MN≥
﹣4，或MN≤﹣﹣4（舍去），
∴MN的最小值为﹣4，
∴△AMN面积的最小值为﹣4，
∵MN+CM+CN＝4，且CM+CN≤MN，
∴MN≤4﹣MN，
∴MN≤2，
∴MN的最大值为2，
∴△AMN面积的最大值为2；
故答案为2，﹣4．
