Question

【题目】在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果弧DE（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称弧DE为△ABC的中内弧．例如，图1中弧DE是△ABC其中的某一条中内弧．

（1）如图2，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时弧DE的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，6），B（0，0），C（t，0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．

①若t＝2，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②请写出一个t的值，使得△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．

Answer 1

【答案】（1）图详见解析，；（2）①m≤或m≥3；②t＝4．

【解析】

（1）如图1中，由垂径定理可知，圆心O在线段DE的垂直平分线上，当点O是△ABC的内心时，内弧最长，利用弧长公式计算即可．

（2）如图2中，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，DE的垂直平分线交DE于F，作DO′交DE的垂直平分线于点O′．

①设O′（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，可得m≥3．当O′D⊥OA时，在Rt△DFO′中，∵DF＝，∠FDO′＝30°，可得O′F＝，推出O′（，），根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点O′的下方（含点O′）时也符合要求，可得m≤．

②如图3中，当△AOC是等边三角形时，内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．此时t＝．

解：（1）如图1中，由垂径定理可知，圆心O在线段DE的垂直平分线上，

∵△ABC是等边三角形，

∴当点O是△ABC的内心时，内弧最长，

在Rt△OHC中，

∵CH＝，∠OCH＝30°，

∴OH＝CHtan30°＝2，

∵∠ADE＝∠AEO＝90°，∠DAE＝60°，

∴∠DOE＝120°，

∴的长＝＝．

（2）①如图2中，

如图2中，由垂径定理可知，圆心一定在线段span>DE的垂直平分线上，DE的垂直平分线交DE于F，

①当t＝时，C（，0），A（，6），

∴D（，3），E（，6），F（，3），

设O′（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，∴m≥3

∵tan∠AOC＝＝，

∴∠AOC＝60°，

∵DE∥OC，

∴∠ADE＝60°，

当O′D⊥OA时，在Rt△DFO′中，∵DF＝，∠FDO′＝30°，

∴O′F＝，

∴O′（，），

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点O′的下方（含点O′）时也符合要求，

∴m≤，

综上所述，m≤或m≥3．

②如图3中，当△AOC是等边三角形时，内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．此时t＝4．