Question

7．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，在BC上取一点E，使BE等于其中位线的长，证明：AC⊥BD，当且仅当ED也等于其中位线的长．

Answer 1

分析 延长BC至点F使CF=AD，证得四边形ABCD为平行四边形，可得AC∥DF，由ED=$\frac{1}{2}（AD+BC）$=$\frac{1}{2}$BF，可得ED=EB=EF，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠EDF=180°，等量代换证得∠2+∠EDF=90°，得AC⊥BD，反之结论也成立．

解答 证明：延长BC至点F使CF=AD，则AD+BC=CF+BC=BF，
则BE=$\frac{1}{2}（AD+BC）=\frac{1}{2}（CF+BC）$=$\frac{1}{2}BF$，
∵AD∥BC，
∴AD∥CF，
又∵AD=CF，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AC∥DF，
若ED=$\frac{1}{2}（AD+BC）$=$\frac{1}{2}$BF，
则ED=EB=EF，
∴∠1=∠2，∠3=∠EDF，
∴∠1+∠2+∠3+∠EDF=180°，
2∠2+2∠EDF=180°，
∠2+∠EDF=90°，
∴∠BDF=90°，
∴∠BOC=90°，
即AC⊥BD，
反之，若AC⊥BD，即∠BDC=90°，
∵AC∥DF，
∴∠BDF=∠BDC=90°，
又∵E点为BF的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}（AD+BC）$，
∴结论成立．

点评 本题主要考查了梯形的中位线的应用，能根据梯形的中位线求出AD+BC=2EF是解此题的关键，注意：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．