Question

2．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（-2，0）、B（0，4），直线l经过点B，并且与直线AB垂直．点P在直线l上，且△ABP是等腰直角三角形．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q（a，b）在第二象限，且S_△QAB=S_△PAB．
①用含a的代数式表示b；
②若QA=QB，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（-2，0），B（0，4）代入y=kx+b，根据待定系数法即可求得；
（2）作PC⊥y轴于C，证得△ABO≌△BPC，从而得出AO=BC=2，BO=PC=4，根据图象即可求得点P的坐标；
（3）①由题意可知Q点在经过P₁点且垂直于直线l的直线上，得到点Q所在的直线平行于直线AB，设点Q所在的直线为y=2x+n，代入P₁（-4，6），求得n的值，即可求得点Q所在的直线为y=2x+14，代入Q（a，b）即可得到b=2a+14；
②由QA=QB，根据勾股定理得出（a+2）²+b²=a²+（b-4）²，进一步得到（a+2）²+（2a+14）²=a²+（2a+14-4）²，解方程即可求得a的值，从而求得Q点的坐标．

解答 解：（1）把A（-2，0），B（0，4）代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
则直线AB解析式为y=2x+4；
（2）如图1所示：作PC⊥y轴于C，

∵直线l经过点B，并且与直线AB垂直．
∴∠ABO+∠PBC=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠PBC，
∵△ABP是等腰直角三角形，
∴AB=PB，
在△ABO和△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠PBC}\\{∠AOB=∠BCP}\\{AB=PB}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△BPC（AAS），
∴AO=BC=2，BO=PC=4，
∴点P的坐标（-4，6）或（4，2）；
（3）①∵点Q（a，b）在第二象限，且S_△QAB=S_△PAB．
∴Q点在经过P₁点且垂直于直线l的直线上，
∴点Q所在的直线平行于直线AB，
∵直线AB解析式为y=2x+4，
∴设点Q所在的直线为y=2x+n，
∵P₁（-4，6），
∴6=2×（-4）+n，
解得n=14，
∴点Q所在的直线为y=2x+14，
∵点Q（a，b），
∴b=2a+14；A（-2，0），B（0，4）
②∵QA=QB，
∴（a+2）²+b²=a²+（b-4）²，
∵b=2a+14，
∴（a+2）²+（2a+14）²=a²+（2a+14-4）²，
整理得，10a=-50，
解得a=-5，b=4，
∴Q的坐标（-5，4）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，两直线平行的性质等．