Question

15．将函数y=x²-x-2的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的图形是函数y=|x²-x-2|的图象，已知过点D（0，4）的直线y=kx+4恰好与y=|x²-x-2|的图象只有三个交点，则k的值为1-2$\sqrt{2}$或-2．

Answer 1

分析 把抛物线y=x²-x-2图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=-x²+x+2（-1≤x≤2），直线y=kx+4与抛物线y=-x²+x+2（-1≤x≤2）相切时，直线y=kx+4与y=|x²-x-2|的图象恰好有三个公共点，即-x²+x+2=kx+4有相等的实数解，利用根的判别式的意义可求出此时k的值，另外当y=kx+4过（2，0）时，也满足条件．

解答 解：当y=0时，x²-x-2=0，解得x₁=-1，x₂=2，
则抛物线y=x²-x-2与x轴的交点为（-1，0），（2，0），
把抛物线y=x²+2x图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，
则翻折部分的抛物线解析式为y=-x²+x+2（-1≤x≤2），
当直线y=kx+4与抛物线y=-x²+x+2（-1≤x≤2）相切时，
直线y=kx+4与函数y=|x²-x-2|的图象恰好有三个公共点，
即-x²+x+2=kx+4有相等的实数解，整理得x²+（k-1）x+2=0，△=（k-1）²-8=0，
解得k=1±2$\sqrt{2}$，
所以k的值为1+2$\sqrt{2}$或1-2$\sqrt{2}$．
当k=1+2√2时，经检验，切点横坐标为x=-√2＜-1不符合题意，舍去．
当y=kx+4过（2，0）时，k=-2，也满足条件，
故答案为1-2$\sqrt{2}$或-2．

点评 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，则有不能漏解．