Question

如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得．在Rt△A′DC中，可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长，求出∠DA′C的度数，进而得出∠ODA′和∠DOK的度数，即可求得△ODK和扇形ODK的面积，由此可求得阴影部分的面积．

解答：解：∵以AD为直径的半园，正好与对边BC相切，
∴AD=2CD，
∵∠C=90°，
∴∠DA′C=30°，
∴∠A′DC=60°，
∴∠DOK=120°，
∴扇形ODK的面积=

120π×42

360

=

16

3

πcm²，
作OH⊥DK于H，
∵∠ODK=∠OKD=30°，OD=4cm，
∴OH=2cm，DH=2

3

cm；
∴△ODK的面积=

1

2

×4

3

×2=4

3

cm²
∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积=（

16

3

π-4

3

）cm²．
故答案为（

16

3

π-4

3

）cm²．

点评：此题考查了折叠问题，解题时要注意找到对应的等量关系；还考查了圆的切线的性质，垂直于过切点的半径；还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度．