Question

【题目】已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．

（1）以AB边上一点O为圆心作⊙O，使它过A，D两点（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=3，BD=3,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和）

Answer 1

【答案】（1）相切，理由见解析； （2）

【解析】

（1）因为⊙O过A，D两点，故圆心O应在AD垂直平分线上，根据尺规作图法，作AD垂直平分线，与AB的交点即为O点，根据等边对等角和角的等量代换可得∠CAD＝∠ODA ，继而可知AC∥OD，再根据“两直线平行，内错角相等”和切线判定定理，即可求证．

（2）设⊙O的半径为x，根据勾股定理，列关于x的方程，求x的值，再根据S阴影部分＝S△ODB－S扇形ODE，求出S阴影部分即可．

（1）作图如图所示．

直线BC与⊙O的位置关系为相切．

理由：连接OD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA

∵AD是∠OAC的角平分线，

∴∠OAD＝∠CAD，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴AC∥OD，

∴∠ODB＝∠ACB＝90°

∴OD⊥BC

即OD为⊙O的切线；

（2）如图所示，阴影部分的面积即为所求面积．

设⊙O的半径为x，

∵AB＝3，OD＝OA＝x，

∴OB＝3－x，

在Rt△ODB中，BD＝3，OD＝x，OB＝3－x

根据勾股定理得：

，

解得：x＝

即OD＝

OB＝

∴sin∠B＝

∴∠B＝30°

∴∠BOD＝90°－30°＝60°

∴S阴影部分＝S△ODB－S扇形ODE＝OD×BD－＝