Question

19．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．
（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1：1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）

Answer 1

分析 （1）在直角△PEN，利用三角函数即可求得ME的长，根据MN=EM-EN求解；
（2）过点D作DN⊥AH于点N，利用三角函数求得AN和AH的长，进而求得△ADH的面积，得到需要填筑的土石方数，再根据结果比原计划提前20天完成，列方程求解．

解答 解：（1）在直角△PEN中，∠PNE=45°，
∴EN=PE=30m，
在Rt△PME中，∠PME=31°，
∴ME=$\frac{PE}{tan31°}$=50（m），
则MN=EM-EN=20（m）．
答：两渔船M、N之间的距离是20米；

（2）过点D作DQ⊥AH于点Q．
由题意得：tan∠DAB=4，tanH=$\frac{4}{7}$，
在直角△DAQ中，AQ=$\frac{DQ}{tan∠DAB}$=$\frac{24}{4}$=6（m），
在直角△DHQ中，HQ=$\frac{DQ}{tanH}$=$\frac{24}{\frac{4}{7}}$=42（m）．
故AH=HQ-AQ=42-6=36（m）．
S_△ADH=$\frac{1}{2}$AH•DQ=432（m²）．
故需要填筑的土石方是V=SL=432×100=43200（m³）．
设原计划平均每天填筑xm³，则原计划$\frac{43200}{x}$天完成，则增加机械设备后，现在平均每天填筑2xm³．
根据题意，得：10x+（$\frac{43200}{x}-10-20$）•2x=43200，
解得：x=864．
经检验x=864是原方程的解．
答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．

点评 本题考查了仰角的定义以及坡度，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．