Question

9．在直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），C（4，5.5）
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，$\frac{1}{2}$），使用含a的代数式表示四边形ABOP的面积；
（3）若点Q的纵坐标为-$\frac{1}{2}$，是否存在点Q使△AOQ的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先在坐标系中描出点A、B、C，然后根据三角形面积公式求解；
（2）根据三角形面积公式和S_{四边形ABOP}=S_△AOB+S_△PAO进行求解；
（3）设Q（x，-$\frac{1}{2}$），利用S_△AOQ=S_△ABC得到$\frac{1}{2}$•3•|x|=11，然后解绝对值方程求出x的值即可得到Q点的坐标．

解答 解：（1）如图，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5.5×4=11；
（2）如图，
S_{四边形ABOP}=S_△AOB+S_△PAO
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×（-a）
=6-$\frac{3}{2}$a；
（3）存在．
设Q（x，-$\frac{1}{2}$），
∵S_△AOQ=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•3•|x|=11，解得x=$\frac{22}{3}$或-$\frac{22}{3}$，
∴点Q的坐标为（$\frac{22}{3}$，-$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{22}{3}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形面积公式．