Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，分别以AC、BC、AB为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∵AB=5，AC=3，
∴BC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
S_阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S_△ABC-直径为AB的半圆的面积
=$\frac{1}{2}$π（$\frac{AC}{2}$）²+$\frac{1}{2}$π（$\frac{BC}{2}$）²+$\frac{1}{2}$AC×BC-$\frac{1}{2}$π（$\frac{AB}{2}$）²
=$\frac{1}{8}$π（AC）²+$\frac{1}{8}$π（BC）²-$\frac{1}{8}$π（AB）²+$\frac{1}{2}$AC×BC
=$\frac{1}{8}$π（AC²+BC²-AB²）+$\frac{1}{2}$AC×BC
=$\frac{1}{2}$AC×BC
=$\frac{1}{2}$×3×4
=6．

点评 本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键．