Question

3．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△ABD的面积是4．求证：四边形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 先根据AAS定理得出△AEB≌△CED，再由AB∥CD得出四边形ABCD是平行四边形，再由△ABD的面积是4得出点D到AB的距离是2，由此得出A点坐标，进而可得出结论．

解答 证明：∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ECD，∠EBA=∠EDC．
在△AEB与△CED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠EAB=∠ECD\\∠EBA=∠EDC\\ BE=DE\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CED（AAS）．
∴AB=CD=4．
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵A（2，n），B（m，n）（m＞2），
∴AB∥x轴，且CD∥x轴．
∵m＞2，
∴m=6．
∴n=$\frac{1}{2}$×6+1=4．
∴B（6，4）．
∵△ABD的面积是4，
∴点D到AB的距离是2．                      
∵AB到x轴的距离是4，点D到到x轴的距离是2，
∴q=2．
∴p=2，即D（2，2）．
∵点A（2，n），
∴DA∥y轴，
∴AD⊥CD，即∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知全等三角形的判定与性质、平行四边形及矩形的判定定理是解答此题的关键．