Question

13．如图，在?ABCD中，E，F，G，H各点分别在AB，BC，CD，DA上，且AE=BF=CG=DH．求证：EG与FH互相平分．

Answer 1

分析 由在平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH，易证得△AEH≌△CFG，可得FG=EH，同理可得HG=EF，所以四边形EFGH为平行四边形，继而证得EG与FH互相平分．

解答 证明：连接EF，FG，GH，HE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，
∵AE=CG，BF=DH，
∴AH=CF，BE=DG，
在△AEH和△CFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CG}&{\;}\\{∠A=∠C}&{\;}\\{AH=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF，
同理：GH=EF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴EG与FH互相平分．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较适中，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．