Question

如图，直线y=

1

2

x+m与抛物线y=-x²+bx+c交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，

5

2

），点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求一次函数和抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为t，当t为何值时，四边形OCPE是平行四边形？请说明理由；
（3）在CD上方是否存在点P，使∠PCF=45°？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据已知条件可知PE=OC=1，P点的纵坐标为1，把y=1代入抛物线的解析式，即可求出t的值；
（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标

解答：解：（1）∵直线y=

1

2

x+m经过点D（3，

5

2

），
∴

5

2

=

1

2

×3+m，解得：m=1，
∴直线的解析式：y=

1

2

x+1
在直线解析式y=

1

2

x+1中，令x=0，得y=1，
∴C（0，1）．
∵点C（0，1）、D（3，

5

2

）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴c=1，
-9+3b+c=

5

2

，
解得b=

7

2

，c=1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+

7

2

x+1；

（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴PF=OC=1，
设P（t，-t²+

7

2

t+1）则F（t，

1

2

t+1）
∴PF=|

1

2

t+1+t²-

7

2

t-1|=1，
解得：t=

3+ 13

2

或t=

3- 5

2

．

（3）存在．
理由：设点P的横坐标为m，则P（m，-m²+

7

2

m+1），F（m，

1

2

m+1）．
如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=m，EM=1，
∴FM=y_F-EM=

1

2

m，
∴tan∠CFM=2．
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=

5

2

m．
过点P作PN⊥CD于点N，则PN=FN•tan∠PFN=FN•tan∠CFM=2FN．
∵∠PCF=45°，
∴PN=CN，
而PN=2FN，∴FN=CF=

5

2

m，PN=2FN=

5

m，
在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF=

FN2+PN2

=

5

2

m．
∵PF=y_P-y_F=（-m²+

7

2

m+1）-（

1

2

m+1）=-m²+3m，
∴-m²+3m=

5

2

m，整理得：m²-

1

2

m=0，
解得m=0（舍去）或m=

1

2

，
∴P（

1

2

，

5

2

）．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程、平行四边形、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解．