Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线x=2和直线y=ax交于点A，过A作AB⊥x轴于点B．如果a取1，2，3，…，n（n为正整数）时，对应的△AOB的面积为S₁，S₂，S₃，…，S_n，那么S₁=

 

；S₁+S₂+S₃+…+S_n=

 

．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：规律型

分析：分别计算出a取1，2，3，…，n（n为正整数）时对应的A点坐标，再根据三角形面积公式计算出S₁=2，S₂=4，S₃=6，S_n=2n，然后计算S₁+S₂+S₃+…+S_n．

解答：解：当a=1时，解方程组

x=2 y=x

得

x=2 y=2

，则A点坐标为（2，2），S₁=

1

2

×2×2=2；
当a=2时，解方程组

x=2 y=2x

得

x=2 y=4

，则A点坐标为（2，4），S₂=

1

2

×2×4=4；
当a=3时，解方程组

x=2 y=3x

得

x=2 y=6

，则A点坐标为（2，6），S₃=

1

2

×2×6=6；
当a=n时，解方程组

x=2 y=nx

得

x=2 y=2n

，则A点坐标为（2，2n），S_n=

1

2

×2×2n，
所以S₁+S₂+S₃+…+S_n=2+4+6+…+2n
=2（1+2+3+…n）
=2•

n(n+1)

2

=n²+n．
故答案为2，n²+n．

点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂平行，则k₁=k₂；若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．