Question

18．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12，BC=6，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP=6或12．

Answer 1

分析 本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=6，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC=12，P、C重合．

解答 解：①当AP=CB时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=CB}\\{AB=QP}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=6；

②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=AC}\\{QP=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP=AC=12，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，AP=6或12．
故答案为：6或12．

点评 本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．