Question

15．已知抛物线C₁：y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c的对称轴是x=2，且经过点（6，0）．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）将抛物线C₁向下平移2个单位后得到抛物线C₂，如图，直线y=kx-2k+1交抛物线C₂于A，B两点（点A在点B的左边），交抛物线C₂的对称轴于点C，M（x_A，3），xA表示点A横坐标，求证：AC=AM；
（3）在（2）的条件下，请你参考（2）中的结论解决下列问题：
①若CM=AM，求$\frac{CB}{CA}$的值；
②请你探究：在抛物线C₂上是否存在点P，使得PO+PC取得最小值？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-2，0），则可设交点式求抛物线解析式；
（2）利用抛物线的平移变换规律得到抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2，再确定直线y=kx-2k+1过定点（2，1），从而得到C（2，1），设A[x，-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2）]，然后利用两点的距离公式证明AC=AM；
（3）①直线y=3交直线x=2于D点，过点B作BE⊥直线y=3于点E，如图1，则利用（2）的结论可证明△ACM是等边三角形，BC=BE，易证∠MCD=60°，∠BCE=∠DCE=30°，利用解直角三角形得到$\frac{DE}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{CD}{DM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\frac{DE}{DM}$=$\frac{1}{3}$，然后根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{CB}{CA}$=$\frac{DE}{DM}$=$\frac{1}{3}$；
②如图2，y轴与抛物线的交点记作点P，与直线y=3的交点记作点H，由（2）可知PC=PH，如图，在抛物线上取异于点P的P′，作P′H′⊥直线y=3于H′，P′Q⊥y轴于点Q，由（2）可知P′C=PH′，易得四边形HH′P′Q为矩形，则P′H′=QH，然后利用OP′＞OQ得到OP+PH＜OP′+P′C，于是可判断点P（0，1）使得PO+PC取得最小值．

解答 （1）解：∵抛物线C₁的对称轴为直线x=2，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（6，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-2，0），
∴抛物线C₁的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-6），
即y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3；
（2）证明：∵抛物线C₁的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+4，
∴抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2，
∵直线y=kx-2k+1过定点（2，1），
而直线y=kx-2k+1交抛物线C₂的对称轴于点C，
∴C（2，1），
设A[x，-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2）]，
∴AC²=（x-2）²+[-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2-1]²=$\frac{1}{16}$（x-2）⁴+$\frac{1}{2}$（x-2）²+1，
AM²=[-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2-3]²=$\frac{1}{16}$（x-2）⁴+$\frac{1}{2}$（x-2）²+1，
∴AC=AM；
（3）解：①∵AC=AM，CM=AM，
∴△ACM是等边三角形．
∴∠AMC=∠ACM=60°，
直线y=3交直线x=2于D点，过点B作BE⊥直线y=3于点E，如图1，则由（2）可知BC=BE，易证∠MCD=60°，∠BCE=∠DCE=30°，
在Rt△CDE中，tan∠DCE=tan30°=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△CDM中，tan∠CMD=tan30°=$\frac{CD}{DM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{DE}{DM}$=$\frac{1}{3}$，
∵AM∥DC∥EB，
∴$\frac{CB}{CA}$=$\frac{DE}{DM}$=$\frac{1}{3}$；
②存在．
如图2，y轴与抛物线的交点记作点P，与直线y=3的交点记作点H，
由（2）可知PC=PH，
如图，在抛物线上取异于点P的P′，作P′H′⊥直线y=3于H′，P′Q⊥y轴于点Q，
由（2）可知P′C=PH′，
易得四边形HH′P′Q为矩形，
∴P′H′=QH，
∵OP′＞OQ，
∴OQ+QH＜OP′+P′H′，
∴OP+PH＜OP′+P′C，
∴点P（0，1）使得PO+PC取得最小值．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等边三角形的性质和平行线分线段成比例定理；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会解直角三角形．