Question

7．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠ADC=120°，P、Q分别是线段AB、AC上的动点，则PQ+BQ的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过点P作关于AC对称点P′，连接BP'交AC于点Q'，由菱形的轴对称性质可知点P'在AD上，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知BP′⊥AD时BP′=BQ′+PQ′的值最小，然后求解即可．

解答 解：
过点P作关于AC对称点P′，连接BP'交AC于点Q，
∵四边形ABCD是菱形，AC为对角线，
∴点P'在AD上，
∵P'Q'=PQ'，
∴PQ'+BQ'=BQ′+PQ′=BP'，
∵直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短，
∴BP′⊥AD，
∵∠ADC=120°，
∴∠DAC=60°，
∴∠ABP′=30°
∵AB=2，
∴AP′=1，
∴BP′=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．