Question

在不等边△ABC中，AB、AC的垂直平分线PM、PN交于点P，∠PBC、∠PCB的角平分线交与Q点，QR⊥BC于点R．求证：P、Q、R三点在同一直线上．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：欲证明P、Q、R三点在同一直线上，只需证得直线PQ经过BC的中点R即可．

解答：证明：∵AB，AC的垂直平分线PM，PN交与点P，
∴点P是不等边△ABC的外接圆圆心，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵∠PBC、∠PCB的平分线交与Q点，
∴∠QBR=

1

2

∠PBC，∠QCR=

1

2

∠PCB，
∴∠QBR=∠QCR，
∴QB=QC．
∵QR⊥BC，
∴RB=RC，
∴点P，Q，R在线段BC的垂直平分线上，即P、Q、R三点在同一直线上．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．