Question

已知抛物线y=x²+px+q（q≠0）与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，与y轴交于点C，显然，△ABC的形状由系数p、q决定，你能找出关于△ABC的形状和p、q的关系吗？并说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：当p=0时，则y=x²+q，顶点C在y轴上，A、B关于y轴对称，所以△ABC是等腰三角形，当q²=-q时，由于x₁•x₂=q，所以q²=OA•OB，即OC²=OA•OB，得出△AOC∽△COB，得出∠ACO=∠CBO，因为∠CBO+∠BCO=90°，所以∠ACO+∠BCO=90°，∠ACB=90°，即可求得△ABC是直角三角形．

解答：解：当p=0时，△ABC是等腰三角形，当q²=-q时，△ABC是直角三角形；
理由：∵当p=0时，则y=x²+q，
∴顶点C在y轴上，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
当q²=-q时，
∵x₁•x₂=q，
∴q²=OA•OB，
即OC²=OA•OB，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

点评：本题考查了抛物线和坐标轴的交点与系数的关系，等腰三角形的判定，直角三角形的判定．