Question

8．如图，AC=10，∠BAC=30°，∠ABC=45°，将△ABC绕AM旋转一周，可得到一个立体图形，求该立体图形的表面积．

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH=$\frac{1}{2}$AC=5，再利用等腰直角三角形的性质得BC=$\sqrt{2}$CH=5$\sqrt{2}$，由于△ABC绕AM旋转一周，可得到共底面圆的两个圆锥组成的几何体，CH为底面圆的半径，AC和BC为母线，于是利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算两个圆锥的侧面积的和即可．

解答 解：作CH⊥AB于H，如图，
在Rt△ACH中，∵∠BAC=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×10=5，
在Rt△BCH中，∵∠ABC=45°，
∴BC=$\sqrt{2}$CH=5$\sqrt{2}$，
∵△ABC绕AM旋转一周，可得到以CH为底面圆的半径，AC和BC为母线的两个圆锥所组成的立体图形，
∴该立体图形的表面积=$\frac{1}{2}$•2π•5•10+$\frac{1}{2}$•2π•5•5$\sqrt{2}$=50π+25$\sqrt{2}$π．

点评 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．