Question

如图，平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0），C（6，0），D为y轴正半轴上一点，且∠ODB=30°，延长DB至E，使BE=BD．P为x轴正半轴上一动点（P在C点右边），M在EP上，且∠EMA=60°，AM交BE于N．
（1）求证：BE=BC；
（2）求证：∠ANB=∠EPC；
（3）当P点运动时，求BP-BN的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据点A、B的坐标求出AD=BD，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BD=AB=4，再求出BC=4，从而得到BC=BD，然后等量代换即可得证；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAN+∠ANB=∠ABD=60°，∠BAN+∠EPC=∠EMA=60°，即可得证；
（3）求出△BCE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BC=CE，然后求出AB=CE，再求出∠ABN=∠ECP=120°，然后利用“角角边”证明△ABN和△ECP全等，根据全等三角形对应边相等BN=CP，再根据BP-CP=BC等量代换即可得解．

解答：（1）证明：∵A（-2，0），B（2，0），
∴AD=BD，AB=4，
∵∠ODB=30°，
∴∠ABD=90°-30°=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，
∵B（2，0），C（6，0），
∴BC=6-2=4，
∴BC=BD，
又∵BE=BD，
∴BE=BC；

（2）证明：由三角形的外角性质得，∠BAN+∠ANB=∠ABD=60°，
∠BAN+∠EPC=∠EMA=60°，
所以，∠ANB=∠EPC；

（3）解：∵BE=BD=BC，∠CBE=∠ABD=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC=CE，
∵AB=BC=4，
∴AB=CE，
∵∠ABC=∠BCE=60°，
∴∠ABN=∠ECP=120°，
在△ABN和△ECP中，

∠ANB=∠EPC ∠ABN=∠ECP AB=CE

，
∴△ABN≌△ECP（AAS），
∴BN=CP，
∵BP-CP=BC，
∴BP-BN=BC=4，
故BP-BN的值为4，与点P的位置无关．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键，难点在于根据边的长度相等得到相等的边．