Question

19．如图，在矩形ABCD中，AD=1，平行四边形AEFD是矩形ABCD的伴随四边形，且E是BC的中点，若AF⊥BD，求AB的值．

Answer 1

分析 首先证明$\frac{AD}{BF}$=$\frac{AG}{GF}$=$\frac{2}{3}$，设AG=2k，GF=3k，由△ABG∽△BCG，可得BG²=AG•FG=6k²，推出BG=$\sqrt{6}$k，由△ABG∽△AFB，可得$\frac{AB}{AF}$=$\frac{BG}{BF}$，即$\frac{AB}{5k}$=$\frac{\sqrt{6}k}{1.5}$，推出AB=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$k²，在Rt△BGF中，（$\sqrt{6}$k）²+（3k）²=（$\frac{3}{2}$）²，可得k²=$\frac{3}{20}$，由此即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=1，AD∥BF，∠ABC=90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD=EF=1，
∵BE=CE，
∴BE=CF=CF=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{BF}$=$\frac{AG}{GF}$=$\frac{2}{3}$，
设AG=2k，GF=3k，
∵BD⊥AF，
∴易证△ABG∽△BCG，
∴BG²=AG•FG=6k²，
∴BG=$\sqrt{6}$k，
由△ABG∽△AFB，可得$\frac{AB}{AF}$=$\frac{BG}{BF}$，
∴$\frac{AB}{5k}$=$\frac{\sqrt{6}k}{1.5}$，
∴AB=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$k²，
在Rt△BGF中，（$\sqrt{6}$k）²+（3k）²=（$\frac{3}{2}$）²，
∴k²=$\frac{3}{20}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查矩形的性质．平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．