Question

17．在等腰直角三角形ABC中．AB=AC=2，AD是BC边上的中线，将△ABC绕点D逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到△A₁B₁C₁，连接AA、BB（如图1）．
（1）在旋转过程中，试判断线段AA₁是BB₁的数量关系和位置关系，并说明理由．
（2）在旋转过程中，若直线AA₁和BB₁相交于点M，连接CM（如图2），求线段CM的取值范围．

Answer 1

分析 （1）结论：AA₁=BB₁，且AA₁⊥BB₁．如图1中，延长AA₁交B₁B于M．连接AB₁．由DA=DB=DC=DA₁=DB₁=DC₁，推出A、A₁、B、B₁、C共圆，推出∠MAB₁=$\frac{1}{2}$∠A₁DB₁=45°，∠MBA₁=$\frac{1}{2}$∠ADB=45°，推出∠AMB₁=90°，由∠ADA₁=∠BDB₁，推出$\widehat{A{A}_{1}}$=$\widehat{B{B}_{1}}$，推出AA₁=BB₁，延长即可证明．
（2）由（1）可知∠AMB=90°，推出点M在以AB为直径的圆上，推出当CM经过线段AB中点时，可得CM的最大值以及最小值CM′．

解答 解：（1）结论：AA₁=BB₁，且AA₁⊥BB₁．
理由：如图1中，延长AA₁交B₁B于M．连接AB₁．

∵AB=AC，DB=DC，∠BAC=90°，
∴DA=DB=DC=DA₁=DB₁=DC₁，
∴A、A₁、B、B₁、C共圆，
∴∠MAB₁=$\frac{1}{2}$∠A₁DB₁=45°，∠MBA₁=$\frac{1}{2}$∠ADB=45°，
∴∠AMB₁=90°，
∵∠ADA₁=∠BDB₁，
∴$\widehat{A{A}_{1}}$=$\widehat{B{B}_{1}}$，
∴AA₁=BB₁，
∴AA₁=BB₁，且AA₁⊥BB₁．

（2）如图2中，

由（1）可知∠AMB=90°，
∴点M在以AB为直径的圆上，
∴当CM经过线段AB中点时，可得CM的最大值以及最小值CM′，
在Rt△AOC中，OC=$\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵OM=OM′=1，
∴OM的最大值为$\sqrt{5}$+1，OM的最小值为$\sqrt{5}$-1，
∴$\sqrt{5}$-1≤OM≤$\sqrt{5}$+1．

点评 本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识，解题的关键是利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．