Question

如图是一个铁艺制品，一个圆形铁架里面焊接有△ABC和△DBC，其中BD与AC交于点E，若AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过圆心O焊接GF，并使GF⊥AC，垂足为F，GF交BE于点G，若DE=3，EG=2，求AB的长．

Answer 1

考点：相交弦定理,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：（1）首先根据相交弦定理得出EB=EC，进而得出△EBC为等边三角形，即可得出答案；
（2）由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．

解答：（1）证明：∵AE•EC=DE•BE，AE=DE，
∴EB=EC，
又∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB=60°；

（2）解：作BM⊥AC于点M，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF=60°，
∴∠EGF=30°，
∵EG=2，
∴EF=1，
又∵AE=ED=3，
∴CF=AF=4，
∴AC=8，EC=5，
∴BC=5，
∵∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°，
∴CM=

5

2

，BM=

BC2-CM2

5 3

2

=，
∴AM=AC-CM=

11

2

，
∴AB=

AM2+BM2

=7．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，得出CM，BM的长是解题关键