Question

阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式

-x4-x2+3

-x2+1

拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为-x²+1，可设-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b则-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴-ax²+x²+a+b=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴

a-1=1 a+b=3

，∴a=2，b=1
∴

-x4-x2+3

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)+1

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)

-x2+1

+

1

-x2+1

=x²+2+

1

-x2+1

这样，分式

-x4-x2+3

-x2+1

被拆分成了一个整式x²+2与一个分式

1

-x2+1

的和．
解答：
（1）将分式

-x4-6x2-+8

-x2+1

拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）试说明

-x4-6x2+8

-x2+1

的最小值为8．

Answer 1

考点：分式的加减法

专题：阅读型

分析：（1）根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可；
（2）原式分子变形后，利用非负数的性质求出最小值即可．

解答：解：（1）设-x⁴-6x+8=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴+（1-a）x²+a+b，
可得

1-a=-6 a+b=8

，
解得：a=7，b=1，
则原式=x²+7+

1

-x2+1

；
（2）∵x²≥0，
∴原式=

-x4+x2-7x2+7+1

-x2+1

=

-x2(x2-1)-7(x2-1)+1

-x2+1

=x²+8≥8，
则原式的最小值为8．

点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．