Question

1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以O为圆心，$\frac{1}{2}$AB的长为半径画圆，此圆必过菱形的各边中点，为什么？

Answer 1

分析 分别取菱形各边中点E、F、G、H，如图，根据菱形的性质得AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，则利用直角三角形斜边上的中线性质得OE=$\frac{1}{2}$AD，OF=$\frac{1}{2}$AB，OG=$\frac{1}{2}$BC，OH=$\frac{1}{2}$CD，所以OE=OF=OG=OH=$\frac{1}{2}$AB，然后根据点与圆的位置关系可判断以O为圆心，$\frac{1}{2}$AB的长为半径画圆，此圆必过菱形的各边中点．

解答 解：分别取菱形各边中点E、F、G、H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，
∴OE=$\frac{1}{2}$AD，OF=$\frac{1}{2}$AB，OG=$\frac{1}{2}$BC，OH=$\frac{1}{2}$CD，
∴OE=OF=OG=OH=$\frac{1}{2}$AB，
∴以O为圆心，$\frac{1}{2}$AB的长为半径画圆，此圆必过菱形的各边中点

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和点与圆的位置关系．