题目内容

如图(1)，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．

(1)证明：B、C、E三点共线；

(2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝OM；

(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D1CE1(图2)，若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

答案：
解析：

　　分析：(1)根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA＝90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°；

　　(2)连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD＝AE，∠EBD＝∠CAE，则∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON＝BD，OM＝AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON＝OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；

　　(3)证明的方法和(2)一样．

　　解答：(1)证明：∵AB是直径，

　　∴∠BCA＝90°，

　　而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，

　　∴∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，

　　∴B、C、E三点共线；

　　(2)连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图，

　　∵CB＝CA，CD＝CE，

　　∴Rt△BCD≌Rt△ACE，

　　∴BD＝AE，∠EBD＝∠CAE，

　　∴∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°，即BD⊥AE，

　　又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，

　　∴ON＝BD，OM＝AE，ON∥BD，AE∥OM；

　　∴ON＝OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，

　　∴MN＝OM；

　　(3)成立．理由如下：

　　和(2)一样，易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，同里可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，

　　从而有M1N1＝OM1．

　　点评：本题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质．


提示：

圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理；旋转的性质．


练习册系列答案
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19、如图，在四边形ABCD中，∠A=104°-∠2，∠ABC=76°+∠2，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．
求证：∠1=∠2．请你完成下面证明过程．
证明：因为∠A=104°-∠2，∠ABC=76°+∠2，（
已知
）
所以∠A+∠ABC=104°-∠2+76°+∠2，（等式性质）
即∠A+∠ABC=180°
所以AD∥BC，（
同旁内角互补，两直线平行
）
所以∠1=∠DBC，（
两直线平行，内错角相等
）
因为BD⊥DC，EF⊥DC，（
已知
）
所以∠BDC=90°，∠EFC=90°，（
垂线的定义
）
所以∠BDC=∠EFC，
所以BD∥
EF
，（
同位角相等，两直线平行
）
所以∠2=∠DBC，（
两直线平行，同位角相等
）
所以∠1=∠2（
等量代换
）．
精英家教网如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinB=
2
3
，那么AB的长是（　　）
A、4
B、9
C、3
5
D、2
5
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（1）证明：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3 cm，AB=6 cm，BC=10 cm，求DE的长．
7、如图，在下列说法中错误的是（　　）
14、如图，在长方形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，将长方形ABCD沿着AB方向平移
6
cm，才能使平移后的长方形与原来的长方形ABCD重叠部分面积为24cm2．

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