Question

5．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．

Answer 1

分析 首先由在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，证得△BHA∽△AHC，即可得$\frac{BH}{AH}$=$\frac{BA}{AC}$，又由以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，可得$\frac{BH}{AH}$=$\frac{BD}{AE}$，∠HBD=∠HAE，则可证得△BDH∽△AEH．

解答 解：相似．
理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠BAH+∠CAH=90°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB=∠CHA=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠BAH=∠CAH，
∴△BAH∽△ACH，
∴$\frac{BH}{AH}$=$\frac{BA}{AC}$，
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴BA=BD，AC=AE，∠ABD=∠CAE=60°，
∴$\frac{BH}{AH}$=$\frac{BD}{AE}$，∠HBD=∠HAE，
∴△BDH∽△AEH．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意证得△BAH∽△ACH是关键．