Question

8．如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点B（3，0），交y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，过点F作y轴的平行线交直线BC于点E，当点F运动到什么位置时，线段EF的长度最大？求线段EF长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）将点B，点C的坐标代入函数的解析式，得到关于b、c的方程组，然后解得b、c的值即可；
（2）先求得直线BC的解析式，设点F的横坐标为x，然后求得可求得点E与点F的纵坐标，从而得到EF的函数关系式，最后利用配方法求得EF的最值以及点F的坐标即可．

解答 解：（1）把B（3，0）C（0，3）代入y=-x²+bx+c得
$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
设点F的坐标为（x，-x²+2x+3），点E的坐标为（x，-x+3）．
∴EF=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，点F的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），EF的最大值为$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的图象和性质，利用配方法求得EF的最大值是解题的关键．