Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，有一边长为1的正方形OABC，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB₁C₁，再以对角线OB₁为边作第三个正方形OB₁B₂C₂，…，照此规律作下去，则B₂的坐标是

 

；B₂₀₁₄的坐标是

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,坐标与图形性质

专题：规律型

分析：根据已知条件和勾股定理求出OB₂的长度即可求出B₂的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以

2

，所以可求出从B到B₂₀₁₄的后变化的坐标．

解答：解：∵四边形OABC是正方形，OB=1，
∴OB₁=

( 2 )2+( 2 )2

=2，
∴OB₂=

OB12+B12B22

=2

2

，
∴B₂的坐标是（0，2

2

），
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以

2

，
∴旋转8次则OB旋转一周，
∵从B到B₂₀₁₄经过了2014次变化，
2014÷8=251…6，
∴从B到B₂₀₁₄与B₆都在y负半轴上，
∴点B₂₀₁₄的坐标是（0，-

2

2005）．
故答案为：（0，2

2

），（0，-

2

2005）．

点评：本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的

2

倍，此题难度较大．