Question

8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）填空：
①连接BF、DE，则四边形BEDF是平行四边形．
②当BD=2OA时，四边形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义得出∠OEB=∠OFD=90°，由中点的定义得出OE=OF，由ASA证明△BOE≌△DOF即可；
（2）①由全等三角形的性质得出OB=OD，由OE=OF，即可得出四边形BEDF是平行四边形；
②先证明四边形ABCD是平行四边形，再证出AC=BD，即可得出四边形ABCD是矩形．

解答 （1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
∵O是EF的中点，
∴OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEB=∠OFD}&{\;}\\{OE=OF}&{\;}\\{∠BOE=∠DOF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）解：①四边形BEDF是平行四边形；理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
又∵OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
②当BD=2OA时，四边形ABCD是矩形；理由如下：
∵O是AC的中点，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
又∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD=2OA，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
故答案为：2．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定方法、平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．