Question

1．如图，点M的坐标为（5，6），⊙M的半径为2，点A，B，C都在网格的格点上，现有一点P在线段AB上运动．
（1）当点P在⊙M上时，请直接写出点P的坐标；
（2）点C的坐标为（7，10），作射线CP与⊙M相交时，求此时点P的纵坐标y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）因为P、M都在直线AB上，且点M的坐标为（5，6），⊙M的半径为2，结合图象即可求得P的坐标；
（2）过C点作⊙M的切线，交⊙M于D、E，求得切线CE平行于AB，CD=CE=4，连接MD，作PF⊥CE于F，则四边形EFPM是矩形，PD⊥CD，然后证得△PMD≌△CPF，得出PD=CF，设PD=CF=x，则CP=4-x，根据勾股定理得出（4-x）²=2²+x²，解得x=$\frac{3}{2}$，从而求得P的坐标，进而求得点P的纵坐标y的取值范围．

解答 解：（1）∵P、M都在直线AB上，且点M的坐标为（5，6），⊙M的半径为2，
∴当点P在⊙M上时，点P的坐标为（5，8）或（5，4）；
（2）如图，过C点作⊙M的切线，交⊙M于D、E，
∵点C的坐标为（7，10），点M的坐标为（5，6），⊙M的半径为2，
∴切线CE平行于AB，与AB没有交点，
CD=CE=4，
连接MD，作PF⊥CE于F，则四边形EFPM是矩形，PD⊥CD，
∴PF=ME=MD=2，∠MPF=90°，
∴∠DPM=∠PCF，
在△PMD和△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPM=∠PCF}\\{∠PDM=∠CFP=90°}\\{DM=PF}\end{array}\right.$，
∴△PMD≌△CPF（AAS），
∴PD=CF，
设PD=CF=x，则CP=4-x，
在RT△PCF中，（4-x）²=2²+x²，
解得，x=$\frac{3}{2}$，
∴p的纵坐标为10-$\frac{3}{2}$=$\frac{17}{2}$，
∴射线CP与⊙M相交时，点P的纵坐标y的取值范围是0≤y≤$\frac{17}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，坐标和图形性质，直线和圆的位置关系，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．