Question

18．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4．
求：（1）对角线AC，BD的长；
   （2）菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得AB=BC，然后再证明△ABC是等边三角形，从而可得AC=AB=4，进而可得AO=2，再利用勾股定理计算BO长，进而可得BD长；
（2）利用菱形的面积=$\frac{1}{2}$ab（a、b是两条对角线的长度）可得面积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=2，
∴OD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=4$\sqrt{3}$；

（2）面积为$\frac{1}{2}×$AC×BD=$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直且平分，菱形面积=两条对角线之积的一半．