Question

12．已知：如图，已知CD∥EF，∠C+∠F=∠ABC，若∠F=a°，a为关于x的一元一次方程$\frac{x-12}{3}$=-$\frac{x-15}{6}$+16的解
（1）求∠F的度数．
（2）求证：AB∥GF．
（3）若点P为直线EF上的动点（点P不在直线AB，FG上），连接BP，请你探究∠ABP与∠BPF之间的数量关系，要求画出图形并直接写出你的结论．

Answer 1

分析 （1）分别依据解方程的基本步骤解一元一次方程即可得x的值，即∠F的度数；
（2）如图1，延长AB交CD于点M，延长FE交AM于点N，由CD∥EF知∠1=∠2，根据∠ABC=∠C+∠1且∠C+∠F=∠ABC得∠2=∠F，即可得证；
（3）分以下三种情况求解可得：①如图2，当点P在EF延长线上时；②如图3，延长AB交直线EF于点H，当点P在FH上时；③如图4，当点P在FH的延长线上时．

解答 解：（1）$\frac{x-12}{3}$=-$\frac{x-15}{6}$+16，
2（x-12）=x-15+96
2x-24=-x+15+96
x=4，
即∠F=45°；

（2）如图1，延长AB交CD于点M，延长FE交AM于点N，

∵CD∥EF，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=∠C+∠1，
∴∠ABC=∠C+∠2，
又∵∠C+∠F=∠ABC，
∴∠2=∠F，
∴AB∥GF；

（3）①如图2，当点P在EF延长线上时，

∵∠EFQ=45°，
∴∠PFQ=135°，
∵AB∥GF，
∴∠ABP=∠GQF=∠BPF+∠PFQ，
即∠ABP=∠BPF+135°；
②如图3，延长AB交直线EF于点H，当点P在FH上时，

过点P作PQ∥FG，
∵∠EFG=45°，
∴∠FEQ=180°-∠EFG=135°，
则∠BPQ=∠BPF-∠FEQ=∠BPF-135°，
又∵AB∥FG，
∴AB∥PQ，
则∠ABP=180°-∠BPQ=180°-（∠BPF-135°），
即∠ABP=315°-∠BPF；
③如图4，当点P在FH的延长线上时，

∵AB∥FG，且∠EFG=45°，
∴∠PHB=∠EFG=45°，
∵∠ABP=∠PHB+∠BPF，即∠ABP=45°+∠BPF，
综上，∠ABP=∠BPF+135°或∠ABP=315°-∠BPF或∠ABP=45°+∠BPF．

点评 本题主要考查平行线的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．