Question

【题目】如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的面积记为，平行四边形的面积记为,则的值为____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如解图所示：延长EN交BC于点F，过点E作EP⊥BC于P，过点F作FQ⊥MN于Q，过点A作AD⊥BC于D，由图可知，图中两个阴影部分面积相等，证出△BEF为等边三角形，四边形NFGM为菱形，求出等边三角形的边长、菱形的边长和平行四边形的边长，利用锐角三角函数求出等边三角形的高、菱形的高和平行四边形的高，即可求出结论．

解：如下图所示，延长EN交BC于点F，过点E作EP⊥BC于P，过点F作FQ⊥MN于Q，过点A作AD⊥BC于D，

∵平行四边形内有两个全等的正六边形，设正六边形的边长为a

∴∠AEN=∠A=∠ENM=∠MGC=120°，NM∥BC，AE=EN=NM=MG=a

∴∠B=180°－∠A=60°，∠FNM=180°－∠ENM =60°，∠BEF=180°－∠AEN=60°，∠NFG=∠ENM=120°=∠MGC

∴∠B=∠BEF=60°，∠EFB=180°－∠NFG=60°，NF∥MG，

∴△BEF为等边三角形，四边形NFGM为菱形

∴NF=MG=a，

∴BE=BF=EF=EN＋NF=2a，AB=AE＋BE=3a，BC=BF＋FG＋GC=4a

∴EP=BE·sin∠B=，AD=AB·sin∠B=，FQ=NF·sin∠FNM=

由图可知，图中两个阴影部分面积相等

∴=2（S△BEF＋S菱形NFGM）

=2（BF·EP＋NM·FQ）

=2（×2a×＋a·）

=

=BC·AD=4a×=

∴

故答案为：．