Question

【题目】如图，在中，，作的角平分线交于点，以为圆心，为半径作圆．

（1）依据题意补充完整图形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）求证：与直线相切；

（3）在（2）的条件下，若与直线相切的切点为，与相交于点，连接，；其中，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据尺规作图的规则作图即可．

（2）根据角平分线证明边和角，再根据切线长定理求证即可．

（3）先在（2）的前提下，根据三角形相似，求出圆的半径，再根据△ODC∽△ABC求出AB即可．

（1）作图如下：

（2）证明：过点O作OD⊥AC，垂足为D．

∵∠ABC=90°，

∴OB⊥AB，

∵AO平分∠BAC且OB⊥AB，OD⊥AC，

∴OB=OD，

∴⊙O与直线AC相切．

（2）由（1）可知，∠ODC=90°，

∵BF为直径

∴∠BDF=90°，

∴∠ODC=∠BDF，

∴∠BDO=∠CDF，

∵OB=OD，

∴∠BDO=∠DBO，

∴CDF=∠DBO，且∠DCF=∠BCD，

∴△DCF∽△BCD，

∴，

∵，CF=2，

∴BC=6，

∴OB=OF=2，

∴OC=4，OD=2，

∵△ODC∽△ABC，

∴，OD=2，

∴．